1ère étape, avec \(\theta < \frac12\).

Pour illustrer la construction dans le cas d’un angle \(\theta < \frac12\), nous prenons \(\theta \approx 0.2254\) donné par une fraction continue : \[ \theta = 0 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{ 2 + \cfrac{1}{ 3+ \cfrac{1}{\ddots}}}} \]

(theta <- contfrac::CF(c(0,4,2,3,2,3,4,5,4,3,2,4), finite=TRUE))
## [1] 0.2254061

Nous notons \([a_1, a_2, \ldots]\) la suite des entiers du développement en fraction continue de \(\theta\) (nous omettons \(a_0=0\)).

La figure ci-dessous montre le graphe de la rotation \(R_\theta\) :

Considérons l’entier \[ b = \max\{k\geq 0 \mid k\theta < 1-\theta\} \geq 1. \] Il n’est pas difficile de voir que :

• \(b = \lfloor \frac{1}{\theta} \rfloor -1\) ;
• \(b = a_1-1\), d’où \(b=3\) pour notre exemple ;
• \(b\) est le plus petit entier tel que les intervalles \(J\), \(R_\theta(J)\), \(\ldots\), \(R_\theta^{b+1}(J)\) recouvrent \((0,1)\), où \(\boxed{J=(1-\theta,1)}\).

( b <- floor(1/theta)-1 )
## [1] 3

On s’intéresse à la transformation induite par \(R_\theta\) sur l’intervalle \[ B=(b\theta, 1)= J \cup R_\theta^{b+1}(J) = (b\theta, 1-\theta) \cup (1-\theta,1), \] représenté en rouge sur cette figure:

Rappelons que la transformation \(T_B\) induite par une transformation \(T\) sur un ensemble \(B\) est définie par \(T_B(x) = T^k(x)\) où \(k=k(x)\) est le premier entier \(\geq 1\) tel que \(T^k(x) \in B\). Ici elle est donnée par \[ T_B(x) = \begin{cases} T(x) & \text{si } x \in (b\theta, 1-\theta) \\ T^{b+1}(x) & \text{si } x \in J=(1-\theta, 1) \end{cases}, \] ce que l’on peut voir sur la figure suivante:

Cette image est appelée un découpage-empilage. L’intervalle du bas, \(B\), est appelé sa base. Ce découpage-empilage a deux tours : celle de gauche n’a qu’un seul étage, celle de droite en a quatre.

La transformation induite préserve la restriction à \(B\) de la mesure préservée par \(T\) (ceci est une généralité sur les transformations induites). Il est facile de voir que le graphe de cette transformation est celui d’une rotation:

Autrement dit, la transformation \(T_B\) est une rotation, à ceci près qu’elle n’est pas définie sur \((0,1)\) mais sur \(B=(b\theta, 1)\). On obtient une rotation sur \((0,1)\) en la conjuguant avec la transformation affine \(g_1\colon B \to (0,1)\) qui envoie \(b\theta\) sur \(0\) et \(1\) sur \(1\). L’angle de cette rotation est \[ \theta'=\frac{\theta}{1-b\theta}=\frac{1}{1+G(\theta)} > \frac{1}{2} \] où \(G(x)=\frac{1}{x} - \lfloor \frac{1}{x} \rfloor\) est la fonction de Gauss. Notons que le développement en fraction continue de \(1-\theta'\) est \([a'_1, a'_2, a'_3, \ldots] = [a_2+1, a_3, a_4, \ldots]\). C’est donc \([3, 3, 2, \ldots]\) pour notre exemple.

La sous-tribu définie par la transformation induite

Regardons à nouveau le découpage-empilage :

Elle définit une partition mesurable \(\xi_1\) de l’espace de Lebesgue \((0,1)\). La classe d’équivalence \(\xi_1(x)\) d’un point \(x \in (0,1)\) contient un élément ou quatre éléments, et on a un représentant dans la base \(B=(b\theta, 1)\). Pour \(x \in B\), \[ \xi_1(x) = \begin{cases} \{x\} & \text{si } x \in (b\theta, 1-\theta) \\ \{x, Tx, \ldots, T^{b}x\} & \text{si } x \in (1-\theta, 1) \end{cases}, \] et l’espace quotient \((0,1)/\xi_1\) s’identifie à \(B\).

Notant \(\xi_0\) la partition mesurable de \((0,1)\) en singletons, la paire de partitions mesurables \((\xi_0, \xi_1)\) s’identifie alors à la paire de tribus \(({\cal F}_0, {\cal F}_1)\) définie par \({\cal F}_1=\sigma(U_1)\) et \({\cal F}_0=\sigma(U_1, U_0)\) où :

• \(U_1\) est une variable aléatoire uniforme sur l’espace \((0,1)\) représenté par le petit cercle sur la figure ci-dessous, et sa réalisation correspond à un point \(g_1^{-1}(U_1) \in B\) ;
• \(U_0\) est une variable aléatoire uniforme sur l’espace \((0,1)\) représenté par le grand cercle sur la figure ci-dessous, et conditionnellement \(U_1\), sa réalisation est uniforme sur la classe d’équivalence du point de \(B\) correspondant à \(U_1\).

2ème étape, avec \(\theta' > \frac12\)

La rotation \(R_{\theta'}\) conjuguée à la transformation induite sur la base de la tour, est appelée renormalisation de la rotation de départ \(R_\theta\). Son graphe est représenté ci-dessous:

Notons \(\phi=1-\theta'\) et définissons l’entier \(b = \max\{k\geq 0 \mid 1-k\phi > 1-\theta'\} \geq 1\). Il est facile de voir que:

• \(b = \lfloor \frac{1}{\phi} \rfloor -1\) ;
• \(b = a'_1-1 = a_2\), d’où \(b=2\) pour notre exemple ;
• \(b\) est le plus petit entier tel que les intervalles \(J\), \(R_{\theta'}(J)\), \(\ldots\), \(R_{\theta'}^{b+1}(J)\) recouvrent \((0,1)\), où \(\boxed{J=(0, 1-\theta')}\).

On s’intéresse à la transformation induite par \(R_{\theta'}\) sur l’intervalle \[ B=(0, 1-b\phi)= J \cup R_{\theta'}^{b+1}(J) = (0,\phi) \cup (\phi, 1-b\phi), \] représenté en rouge sur cette figure:

La transformation induite sur \(B\) est donnée par \[ T_{B}(x) = \begin{cases} T^{b+1}(x) & \text{si } x \in (0, \phi) \\ T(x) & \text{si } x \in (\phi, 1-b\phi) \end{cases}, \] ce que l’on peut voir sur la figure suivante:

Cette transformation a le même graphe qu’une rotation:

Comme dans le cas précédent, on envoie \(B\) sur \((0,1)\) avec l’application affine, et on obtient alors la rotation sur \((0,1)\) d’angle \[ \theta''=\frac{1-(b+1)\phi}{1-b\phi}=\frac{G(\phi)}{1+G(\phi)} < \frac{1}{2}, \] où \(G\) est la fonction de Gauss. Rappelons que le développement en fraction continue de \(1-\theta'\) est \([a'_1, a'_2, a'_3, \ldots] = [a_2+1, a_3, a_4, \ldots]\). Celui de \(\theta''\) est alors \([a'_2+1, a'_3, a'_4, \ldots] = [a_3+1, a_4, a_5, \ldots]\).

Remarque. Notons \((p_n/q_n)\) la suite des convergents de \(\theta\) et \(\alpha_n = |q_n\theta-p_n|\). Alors \(\alpha_1 = (1-\theta) - b_1\theta\), \(\alpha_2 = |B_1| \times [(1-b_2\phi) - \phi]\), \(\ldots\) (à chaque fois la longueur du petit segment multipliée par la longueur de la base précédente).

La sous-tribu pour \(n=2\).

Comme à la première étape, on a maintenant une partition mesurable \(\xi'_2\) de l’espace \((0,1) \simeq (0,1)/\xi_1\).

Il y a trois cas possibles, représentés sur la figure ci-dessous :

• Cas 1 : \(\# \xi_1(x)=4\) et \(\# \xi'_2\bigl(\xi_1(x)\bigr)=3\)
  
• Cas 2 : \(\# \xi_1(x)=4\) et \(\# \xi'_2\bigl(\xi_1(x)\bigr)=1\)
• Cas 3 : \(\# \xi_1(x)=1\) et \(\# \xi'_2\bigl(\xi_1(x)\bigr)=3\)

(à faire sur la figure: dessiner le \(B\) du petit cercle)

La partition mesurable \(\xi_2 \prec \xi_1\) apparaît alors comme suit. Sur la figure, le point \(x\) est un des points bleus de sa classe-\(\xi_1\). Son représentant dans l’arc rouge est envoyé sur le point vert \(x' \simeq \xi_1(x)\) du petit cercle \((0,1) \simeq (0,1)/\xi_1\) par l’application affine \(g_1\), ce qui est montré la flèche. Mais chaque autre point vert dans \(\xi'_2(x')\) correspond lui aussi à un représentant-\(\xi_1\) point sur l’arc rouge par \(g_1^{-1}\), et ainsi à une classe-\(\xi_1\) sur l’espace \((0,1)\) de départ (le grand cercle). La classe-\(\xi_2\) de \(x\) est alors la réunion de ces classes-\(\xi_1\). Par exemple, dans le cas 1, on obtient ceci pour \(\xi_2(x)\) (les \(9\) points bleus) :

La classe-\(\xi_2\) de \(x\) dans la partition mesurable \(\xi_2 \prec \xi_1\) est ainsi la réunion des \(\#\xi'_2\bigl(\xi_1(x)\bigr)\) classes-\(\xi_1\) correspondant à chaque point vert.

Elle se visualise en découpant-empilant la 1ère tour selon le découpage-empilage de la 2ème tour (dessin à droite):

Notons qu’il y a deux possibilités pour le représentant-\(\xi_1\) de \(x\) : il est soit dans \((3\theta, 1-\theta)\) (tour de gauche) soit dans \((1-\theta, 1)\) (tour de droite). De même il y a deux possibilités pour le représentant-\(\xi'_2\) de \(x'=\xi_1(x)\) : il est soit dans \((0,\phi)\) soit dans \((\phi, 1-2\phi)\). Cela fait a priori quatre cas mais l’un d’eux n’est pas possible ; les trois cas possibles que nous avons déjà mentionnés précédemment sont les suivants :

• Cas 1 : le représentant-\(\xi_1\) de \(x\) est dans \((1-\theta, 1)\) et le représentant-\(\xi'_2\) de \(x'=\xi_1(x)\) est dans \((0,\phi)\). Dans ce cas, \(\xi_2(x)\) est la réunion de \(3\) classes-\(\xi_1\), l’une d’elles est un singleton et les deux autres contiennent \(4\) points (on est dans la tour de gauche).
• Cas 2 : le représentant-\(\xi_1\) de \(x\) est dans \((1-\theta, 1)\) et le représentant-\(\xi'_2\) de \(x'=\xi_1(x)\) est dans \((\phi, 1-2\phi)\). Dans ce cas, \(\xi_2(x) = \xi_1(x)\) (on est dans la tour de droite).
• Cas 3 : le représentant-\(\xi_1\) de \(x\) est dans \((3\theta, 1-\theta)\) et le représentant-\(\xi'_2\) de \(x'=\xi_1(x)\) est nécessairement dans \((0,\phi)\). Dans ce cas on est dans la tour de droite, comme dans le cas 1.

Ainsi \(\#\xi_2(x) = 9 \text{ ou } 4\). Et la mesure conditionnelle sur \(\xi_2(x)\) est uniforme sur ces \(9\) ou \(4\) points.

On visualise quelque chose de plus sur le découpage-empilage : la mesure conditionnelle sur \(\xi_2(x)\) ne donne pas d’autre information que les \(9\) ou \(4\) points qui sont dans \(\xi_2(x)\). Mais lorsque \(\#\xi_2(x) = 9\), on visualise aussi les trois classes-\(\xi_1\) qui composent \(\xi_2(x)\). C’est la différence entre \(\xi_2(x)\) et \(\xi'_2\bigl(\xi_1(x)\bigr)\): \[ \xi'_2\bigl(\xi_1(x)\bigr) = \bigl\{\{x_1\}, \{x_{21}, x_{22}, x_{23}, x_{24}\}, \{x_{31}, x_{32}, x_{33}, x_{34}\} \bigr\} \] alors que \[ \xi_2(x) = \{x_1, x_{21}, x_{22}, x_{23}, x_{24}, x_{31}, x_{32}, x_{33}, x_{34}\}. \]

Ceci correspond à la différence entre la mesure conditionnelle-\(\xi_2\) et la mesure conditionnelle de la mesure conditionnelle. En language probabiliste c’est la loi conditionnelle itérée \(\pi_2(U_0)\), si on considère la filtration \(({\cal F}_2, {\cal F}_1, {\cal F}_0)\) qui correspond à \((\xi_2, \xi_1, \xi_0)\), engendrée par un triplet \((U_2, U_1, U_0)\).

Remarque. Notons \((p_n/q_n)\) la suite des convergents de \(\theta\). À l’étape \(n\) il y aura toujours deux tours, et les hauteurs de ces deux tours sont \(q_{n-1}\) et \(q_n\).