1ère étape, avec $\theta < \frac12$.

Pour illustrer la construction dans le cas d’un angle $\theta < \frac12$, nous prenons $\theta \approx 0.2254$ donné par une fraction continue :

$$\theta = 0 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{ 2 + \cfrac{1}{ 3+ \cfrac{1}{\ddots}}}}$$

(theta <- contfrac::CF(c(0,4,2,3,2,3,4,5,4,3,2,4), finite=TRUE))
## [1] 0.2254061

Nous notons $[a_1, a_2, \ldots]$ la suite des entiers du développement en fraction continue de $\theta$ (nous omettons $a_0=0$).

La figure ci-dessous montre le graphe de la rotation $R_\theta$ :

Considérons l’entier

$$b = \max\{k\geq 0 \mid k\theta < 1-\theta\} \geq 1.$$ Il n’est pas difficile de voir que :

• $b = \lfloor \frac{1}{\theta} \rfloor -1$ ;
• $b = a_1-1$, d’où $b=3$ pour notre exemple ;
• $b$ est le plus petit entier tel que les intervalles $J$, $R_\theta(J)$, $\ldots$, $R_\theta^{b+1}(J)$ recouvrent $(0,1)$, où $\boxed{J=(1-\theta,1)}$.

( b <- floor(1/theta)-1 )
## [1] 3

On s’intéresse à la transformation induite par $R_\theta$ sur l’intervalle

$$B=(b\theta, 1)= J \cup R_\theta^{b+1}(J) = (b\theta, 1-\theta) \cup (1-\theta,1),$$ représenté en rouge sur cette figure:

Rappelons que la transformation $T_B$ induite par une transformation $T$ sur un ensemble $B$ est définie par $T_B(x) = T^k(x)$ où $k=k(x)$ est le premier entier $\geq 1$ tel que $T^k(x) \in B$. Ici elle est donnée par

$$T_B(x) = \begin{cases} T(x) & \text{si } x \in (b\theta, 1-\theta) \\ T^{b+1}(x) & \text{si } x \in J=(1-\theta, 1) \end{cases},$$ ce que l’on peut voir sur la figure suivante:

Cette image est appelée un découpage-empilage. L’intervalle du bas, $B$, est appelé sa base. Ce découpage-empilage a deux tours : celle de gauche n’a qu’un seul étage, celle de droite en a quatre.

La transformation induite préserve la restriction à $B$ de la mesure préservée par $T$ (ceci est une généralité sur les transformations induites). Il est facile de voir que le graphe de cette transformation est celui d’une rotation:

Autrement dit, la transformation $T_B$ est une rotation, à ceci près qu’elle n’est pas définie sur $(0,1)$ mais sur $B=(b\theta, 1)$. On obtient une rotation sur $(0,1)$ en la conjuguant avec la transformation affine $g_1\colon B \to (0,1)$ qui envoie $b\theta$ sur $0$ et $1$ sur $1$. L’angle de cette rotation est

$$\theta'=\frac{\theta}{1-b\theta}=\frac{1}{1+G(\theta)} > \frac{1}{2}$$ où $G(x)=\frac{1}{x} - \lfloor \frac{1}{x} \rfloor$ est la fonction de Gauss. Notons que le développement en fraction continue de $1-\theta'$ est $[a'_1, a'_2, a'_3, \ldots] = [a_2+1, a_3, a_4, \ldots]$. C’est donc $[3, 3, 2, \ldots]$ pour notre exemple.

La sous-tribu définie par la transformation induite

Regardons à nouveau le découpage-empilage :

Elle définit une partition mesurable $\xi_1$ de l’espace de Lebesgue $(0,1)$. La classe d’équivalence $\xi_1(x)$ d’un point $x \in (0,1)$ contient un élément ou quatre éléments, et on a un représentant dans la base $B=(b\theta, 1)$. Pour $x \in B$,

$$\xi_1(x) = \begin{cases} \{x\} & \text{si } x \in (b\theta, 1-\theta) \\ \{x, Tx, \ldots, T^{b}x\} & \text{si } x \in (1-\theta, 1) \end{cases},$$ et l’espace quotient $(0,1)/\xi_1$ s’identifie à $B$.

Notant $\xi_0$ la partition mesurable de $(0,1)$ en singletons, la paire de partitions mesurables $(\xi_0, \xi_1)$ s’identifie alors à la paire de tribus $({\cal F}_0, {\cal F}_1)$ définie par ${\cal F}_1=\sigma(U_1)$ et ${\cal F}_0=\sigma(U_1, U_0)$ où :

• $U_1$ est une variable aléatoire uniforme sur l’espace $(0,1)$ représenté par le petit cercle sur la figure ci-dessous, et sa réalisation correspond à un point $g_1^{-1}(U_1) \in B$ ;
• $U_0$ est une variable aléatoire uniforme sur l’espace $(0,1)$ représenté par le grand cercle sur la figure ci-dessous, et conditionnellement $U_1$, sa réalisation est uniforme sur la classe d’équivalence du point de $B$ correspondant à $U_1$.

2ème étape, avec $\theta' > \frac12$

La rotation $R_{\theta'}$ conjuguée à la transformation induite sur la base de la tour, est appelée renormalisation de la rotation de départ $R_\theta$. Son graphe est représenté ci-dessous:

Notons $\phi=1-\theta'$ et définissons l’entier $b = \max\{k\geq 0 \mid 1-k\phi > 1-\theta'\} \geq 1$. Il est facile de voir que:

• $b = \lfloor \frac{1}{\phi} \rfloor -1$ ;
• $b = a'_1-1 = a_2$, d’où $b=2$ pour notre exemple ;
• $b$ est le plus petit entier tel que les intervalles $J$, $R_{\theta'}(J)$, $\ldots$, $R_{\theta'}^{b+1}(J)$ recouvrent $(0,1)$, où $\boxed{J=(0, 1-\theta')}$.

On s’intéresse à la transformation induite par $R_{\theta'}$ sur l’intervalle

$$B=(0, 1-b\phi)= J \cup R_{\theta'}^{b+1}(J) = (0,\phi) \cup (\phi, 1-b\phi),$$ représenté en rouge sur cette figure:

La transformation induite sur $B$ est donnée par

$$T_{B}(x) = \begin{cases} T^{b+1}(x) & \text{si } x \in (0, \phi) \\ T(x) & \text{si } x \in (\phi, 1-b\phi) \end{cases},$$ ce que l’on peut voir sur la figure suivante:

Cette transformation a le même graphe qu’une rotation:

Comme dans le cas précédent, on envoie $B$ sur $(0,1)$ avec l’application affine, et on obtient alors la rotation sur $(0,1)$ d’angle

$$\theta''=\frac{1-(b+1)\phi}{1-b\phi}=\frac{G(\phi)}{1+G(\phi)} < \frac{1}{2},$$ où $G$ est la fonction de Gauss. Rappelons que le développement en fraction continue de $1-\theta'$ est $[a'_1, a'_2, a'_3, \ldots] = [a_2+1, a_3, a_4, \ldots]$. Celui de $\theta''$ est alors $[a'_2+1, a'_3, a'_4, \ldots] = [a_3+1, a_4, a_5, \ldots]$.

Remarque. Notons $(p_n/q_n)$ la suite des convergents de $\theta$ et $\alpha_n = |q_n\theta-p_n|$. Alors $\alpha_1 = (1-\theta) - b_1\theta$, $\alpha_2 = |B_1| \times [(1-b_2\phi) - \phi]$, $\ldots$ (à chaque fois la longueur du petit segment multipliée par la longueur de la base précédente).

La sous-tribu pour $n=2$.

Comme à la première étape, on a maintenant une partition mesurable $\xi'_2$ de l’espace $(0,1) \simeq (0,1)/\xi_1$.

Il y a trois cas possibles, représentés sur la figure ci-dessous :

• Cas 1 : $\# \xi_1(x)=4$ et $\# \xi'_2\bigl(\xi_1(x)\bigr)=3$
  
• Cas 2 : $\# \xi_1(x)=4$ et $\# \xi'_2\bigl(\xi_1(x)\bigr)=1$
• Cas 3 : $\# \xi_1(x)=1$ et $\# \xi'_2\bigl(\xi_1(x)\bigr)=3$

(à faire sur la figure: dessiner le $B$ du petit cercle)

La partition mesurable $\xi_2 \prec \xi_1$ apparaît alors comme suit. Sur la figure, le point $x$ est un des points bleus de sa classe-$\xi_1$. Son représentant dans l’arc rouge est envoyé sur le point vert $x' \simeq \xi_1(x)$ du petit cercle $(0,1) \simeq (0,1)/\xi_1$ par l’application affine $g_1$, ce qui est montré la flèche. Mais chaque autre point vert dans $\xi'_2(x')$ correspond lui aussi à un représentant-$\xi_1$ point sur l’arc rouge par $g_1^{-1}$, et ainsi à une classe-$\xi_1$ sur l’espace $(0,1)$ de départ (le grand cercle). La classe-$\xi_2$ de $x$ est alors la réunion de ces classes-$\xi_1$. Par exemple, dans le cas 1, on obtient ceci pour $\xi_2(x)$ (les $9$ points bleus) :

La classe-$\xi_2$ de $x$ dans la partition mesurable $\xi_2 \prec \xi_1$ est ainsi la réunion des $\#\xi'_2\bigl(\xi_1(x)\bigr)$ classes-$\xi_1$ correspondant à chaque point vert.

Elle se visualise en découpant-empilant la 1ère tour selon le découpage-empilage de la 2ème tour (dessin à droite):

Notons qu’il y a deux possibilités pour le représentant-$\xi_1$ de $x$ : il est soit dans $(3\theta, 1-\theta)$ (tour de gauche) soit dans $(1-\theta, 1)$ (tour de droite). De même il y a deux possibilités pour le représentant-$\xi'_2$ de $x'=\xi_1(x)$ : il est soit dans $(0,\phi)$ soit dans $(\phi, 1-2\phi)$. Cela fait a priori quatre cas mais l’un d’eux n’est pas possible ; les trois cas possibles que nous avons déjà mentionnés précédemment sont les suivants :

• Cas 1 : le représentant-$\xi_1$ de $x$ est dans $(1-\theta, 1)$ et le représentant-$\xi'_2$ de $x'=\xi_1(x)$ est dans $(0,\phi)$. Dans ce cas, $\xi_2(x)$ est la réunion de $3$ classes-$\xi_1$, l’une d’elles est un singleton et les deux autres contiennent $4$ points (on est dans la tour de gauche).
• Cas 2 : le représentant-$\xi_1$ de $x$ est dans $(1-\theta, 1)$ et le représentant-$\xi'_2$ de $x'=\xi_1(x)$ est dans $(\phi, 1-2\phi)$. Dans ce cas, $\xi_2(x) = \xi_1(x)$ (on est dans la tour de droite).
• Cas 3 : le représentant-$\xi_1$ de $x$ est dans $(3\theta, 1-\theta)$ et le représentant-$\xi'_2$ de $x'=\xi_1(x)$ est nécessairement dans $(0,\phi)$. Dans ce cas on est dans la tour de droite, comme dans le cas 1.

Ainsi $\#\xi_2(x) = 9 \text{ ou } 4$. Et la mesure conditionnelle sur $\xi_2(x)$ est uniforme sur ces $9$ ou $4$ points.

On visualise quelque chose de plus sur le découpage-empilage : la mesure conditionnelle sur $\xi_2(x)$ ne donne pas d’autre information que les $9$ ou $4$ points qui sont dans $\xi_2(x)$. Mais lorsque $\#\xi_2(x) = 9$, on visualise aussi les trois classes-$\xi_1$ qui composent $\xi_2(x)$. C’est la différence entre $\xi_2(x)$ et $\xi'_2\bigl(\xi_1(x)\bigr)$:

$$\xi'_2\bigl(\xi_1(x)\bigr) = \bigl\{\{x_1\}, \{x_{21}, x_{22}, x_{23}, x_{24}\}, \{x_{31}, x_{32}, x_{33}, x_{34}\} \bigr\}$$ alors que $$\xi_2(x) = \{x_1, x_{21}, x_{22}, x_{23}, x_{24}, x_{31}, x_{32}, x_{33}, x_{34}\}.$$

Ceci correspond à la différence entre la mesure conditionnelle-$\xi_2$ et la mesure conditionnelle de la mesure conditionnelle. En language probabiliste c’est la loi conditionnelle itérée $\pi_2(U_0)$, si on considère la filtration $({\cal F}_2, {\cal F}_1, {\cal F}_0)$ qui correspond à $(\xi_2, \xi_1, \xi_0)$, engendrée par un triplet $(U_2, U_1, U_0)$.

Remarque. Notons $(p_n/q_n)$ la suite des convergents de $\theta$. À l’étape $n$ il y aura toujours deux tours, et les hauteurs de ces deux tours sont $q_{n-1}$ et $q_n$.