Nous avons vu comment un qubit, à un facteur de phase près, se représente sur la sphère de Bloch. Lorsqu’on considère les qubits à un facteur de phase près, on peut donc visualiser la solution de l’équation de Schrödinger sur la sphère de Bloch à l’aide de cette représentation. Nous allons voir que la trajectoire de la solution donne toujours un cercle sur la sphère de Bloch.

Ce résultat est obtenu à l’aide des matrices de Pauli. Ce sont les trois matrices auto-adjointes suivantes : \[ X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{pmatrix}, \quad Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}. \] Les quatre matrices \(I\), \(X\), \(Y\) et \(Z\) sont orthogonales, elles forment donc une base de l’espace des matrices \(2\times 2\) complexes. Puisqu’elles sont orthogonales, les coefficients \(a\), \(b_x\), \(b_y\) et \(b_z\) tels que \[ M = aI + b_x X + b_y Y + b_z Z \] pour une matrice \(M\) donnée, s’obtiennent à l’aide des produits scalaires de \(M\) par chacune de ces matrices, et il est alors facile de voir que \(a\), \(b_x\), \(b_y\) et \(b_z\) sont des nombres réels lorsque \(M\) est une matrice auto-adjointe.

Ainsi, si \(M\) est auto-adjointe, on a \[ {\mathrm{e}}^{-it M} = {\mathrm{e}}^{-it aI} {\mathrm{e}}^{-it (b_x X + b_y Y + b_z Z)} = {\mathrm{e}}^{-it a} R_{\vec{n}}(2 \lambda t) \] où l’on note \(\lambda = \sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}\), \(\vec{n} = (n_x, n_y, n_z)\) où \(n_x=b_x/\lambda\), \(n_y=b_y/\lambda\), \(n_z=b_z/\lambda\), et \[ R_{\vec{n}}(\theta) = {\mathrm{e}}^{-i \frac{\theta}{2} (n_x X + n_y Y + n_z Z)}. \]

La matrice unitaire \(R_{\vec{n}}(\theta)\) est appelée un opérateur de rotation. Ce nom est justifié par le fait suivant : si \(\psi \in \mathbb{C}^2\) est un qubit, alors la représentation de \(R_{\vec{n}}(\theta) \psi\) sur la sphère de Bloch est l’image de la représentation de \(\psi\) sur la sphère de Bloch par la rotation d’angle \(\theta\) et d’axe dirigé par le vecteur unitaire \(\vec{n}\).

Le résultat annoncé en introduction découle de ce qui précède. Rappelons que la solution de l’équation de Schrödinger \[ \frac{{\mathrm{d}}\psi(t)}{{\mathrm{d}}t} = -{\mathrm{i}}{\mathcal{H}}\psi(t) \] est \[ \psi(t) = U_t\psi(0) \quad \text{où} \; U_t = {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}t{\mathcal{H}}}. \] Donc, si on écrit la décomposition du Hamiltonien \({\cal H}\) dans la base constituée par la matrice \(I\) et les matrices de Pauli, \[ {\cal H} = aI + b_x X + b_y Y + b_z Z \] on a, avec les notations précédentes, \[ U_t = {\mathrm{e}}^{-it a} R_{\vec{n}}(2\lambda t), \] et donc, à un facteur de phase près, \(\psi(t)\) est égal à \[ R_{\vec{n}}(2\lambda t) \psi(0). \] Ainsi, la représentation de \(\psi(t)\) sur la sphère de Bloch parcourt un cercle, en tournant autour de l’axe \(\vec{n}\) selon un angle qui évolue linéairement en \(t\).