(latest update : 2016-03-02 16:58:33)

Cet article fait suite à l’introduction aux probabilités quantiques. Nous y avons vu que le résultat moyen (l’espérance) de la mesure d’un observable \(A\) lorsque le système est dans l’état \(\psi\) est \[ E_\psi(A) = \langle \psi, A\psi \rangle. \] Intéressons-nous maintenant à la variance de la mesure, que nous notons \({\mathrm{Var}}_\psi(A)\). Écrivons
\[ A = \alpha_1P_1 + \cdots + \alpha_rP_r, \] la décomposition spectrale d’un observable \(A\). Nous avions remarqué dans le précédent article que, en vertu du théorème de décomposition spectrale, on a alors \[ g(A) = g(\alpha_1)P_1 + \cdots + g(\alpha_r)P_r \] pour toute fonction polynomiale \(g\) (et \(g(A)\) est alors bien une matrice auto-adjointe). Donc \[ A^2 = \alpha_1^2P_1 + \cdots + \alpha_r^2P_r \] et l’espérance du carré du résultat de la mesure de \(A\) est alors \(E_\psi(A^2)\). Donc \[ {\mathrm{Var}}_\psi(A) = E_\psi(A^2) - {\bigl(E_\psi(A)\bigr)}^2. \] Le lecteur est supposé connaître les deux expressions classiques de la variance d’une variable aléatoire. On peut aussi introduire un observable qui prend les valeurs \({\bigl(\alpha_i - E_\psi(A)\bigr)}^2\), et \({\mathrm{Var}}_\psi(A)\) est alors l’espérance (“sous \(\psi\)”) de cet observable. Celui-ci est simplement \(\tilde A^2\) où \[ \tilde A = A - E_\psi(A)I \] est à nouveau une fonction polynomiale de \(A\), ainsi que son carré \(\tilde A^2\). Ainsi, \[ {\mathrm{Var}}_\psi(A) = E_\psi(\tilde A^2) = \langle \psi, \tilde A^2\psi \rangle = \langle \tilde A\psi, \tilde A\psi \rangle = {\Vert \tilde A \psi \Vert}^2. \]

Le principe d’incertitude de Heisenberg est une relation entre les variances \({\mathrm{Var}}_\psi(A)\) et \({\mathrm{Var}}_\psi(B)\) des mesures de deux observables \(A\) et \(B\). C’est un théorème qui se déduit du principe de Born. Nous allons montrer comment y parvenir.

Introduisons un second observable \(B\) et, de même que pour \(A\), la matrice \(\tilde B = B - E_\psi(B)I\). La matrice \(\tilde A \tilde B\) n’est pas auto-adjointe en général, mais on peut l’écrire \[ \tilde A \tilde B = G + {\mathrm{i}}H \] où les matrices \[ G = \frac{\tilde A \tilde B + \tilde B \tilde A}{2} \quad \text{et }\; H = \frac{\tilde A \tilde B - \tilde B \tilde A}{2{\mathrm{i}}} = \frac{AB - BA}{2{\mathrm{i}}} \] sont auto-adjointes. On a alors \[ \langle \psi, \tilde A \tilde B \psi \rangle = \langle \psi, G \psi \rangle + {\mathrm{i}}\langle \psi, H \psi \rangle \] et, du fait que \(\langle \psi, G \psi \rangle\) et \(\langle \psi, H \psi \rangle\) sont des nombres réels, \[ {\bigl| \langle \psi, \tilde A \tilde B \psi \rangle \bigr|}^2 = {\bigl| \langle \psi, G \psi \rangle \bigr|}^2 + {\bigl| \langle \psi, H \psi \rangle \bigr|}^2, \] ce dont on déduit \[ \bigl| \langle \psi, H \psi \rangle \bigr| \leq \bigl| \langle \psi, \tilde A \tilde B \psi \rangle \bigr| = \bigl| \langle \tilde A \psi, \tilde B \psi \rangle \bigr|. \] D’autre part, l’inégalité de Cauchy-Schwarz donne \[ \bigl| \langle \tilde A \psi, \tilde B \psi \rangle \bigr| \leq \Vert \tilde A\psi\Vert \Vert \tilde B \psi \Vert = \sqrt{{\mathrm{Var}}_\psi(A)} \sqrt{{\mathrm{Var}}_\psi(B)}. \] En combinant ces deux inégalités, et en notant \(\sigma_\psi(\cdot)=\sqrt{{\mathrm{Var}}_\psi(\cdot)}\), nous obtenons :