1. Jonction de deux systèmes quantiques

    2016-02-29
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    (latest update : 2016-07-05 16:11:06)

    Supposons un état quantique \({\mathbf{v}}\in {\mathbb{C}}^m\) et un autre état quantique \({\mathbf{w}}\in {\mathbb{C}}^n\).

    Vus conjointement, ces deux états forment un état quantique dans \({\mathbb{C}}^m\otimes{\mathbb{C}}^n\) : le produit tensoriel \({\mathbf{v}}\otimes{\mathbf{w}}\) de \({\mathbf{v}}\) par \({\mathbf{w}}\).

    L’objectif du présent article est d’exposer le B-A-BA de ces systèmes de deux états quantiques. Cet article fait suite à l’introduction aux probabilités quantiques.

    Les définitions et propriétés relatives au produit tensoriel peuvent se trouver dans le livre d’Isham.

    Notons ici que les vecteurs de \({\mathbb{C}}^m\otimes{\mathbb{C}}^n\) ne s’écrivent pas tous comme le produit tensoriel d’un vecteur de \({\mathbb{C}}^m\) avec un vecteur de \({\mathbb{C}}^n\) (par exemple l’état de Bell, mentionné à la fin de cet article) . Nous dirons qu’un état tel que \({\mathbf{v}}\otimes{\mathbf{w}}\) est un état produit pur.

    Notons aussi que si un vecteur de \({\mathbb{C}}^m\otimes{\mathbb{C}}^n\) peut s’écrire comme un produit tensoriel \({\mathbf{v}}\otimes{\mathbf{w}}\), alors il ne s’écrit pas de façon unique sous cette forme : on a \[ ({\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}\alpha}{\mathbf{v}}) \otimes ({\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}\alpha}{\mathbf{w}}) = {\mathbf{v}}\otimes{\mathbf{w}}. \] La paire \(({\mathbf{v}}, {\mathbf{w}})\) est unique modulo une telle transformation par un facteur de phase \[ {\mathbf{v}}\mapsto {\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}\alpha}{\mathbf{v}}, {\mathbf{w}}\mapsto {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{i}}\alpha}{\mathbf{w}}. \] Toutefois, comme nous l’avions déjà remarqué dans l’article sur la sphère de Bloch, deux vecteurs différant d’un facteur de phase, comme \({\mathbf{v}}\) et \({\mathrm{e}}^{{\mathrm{i}}\alpha}{\mathbf{v}}\), définissent la même loi de probabilité quantique.

    Passage d’un observable pour un système au système joint

    Si \(A\) est un observable pour le premier système, de décomposition spectrale \[ A = \alpha_1 P_1 + \cdots + \alpha_r P_r, \] alors \(A\) devient \(A \otimes I\) dans le système joint. Sa décomposition spectrale est \[ A \otimes I = \alpha_1 (P_1\otimes I) + \cdots + \alpha_r (P_r\otimes I). \]

    Si une mesure est effectuée lorsque l’état du système joint est \({\mathbf{v}}\otimes{\mathbf{w}}\), alors le résultat est \(\alpha_i\) avec probabilité \({\Vert P_i {\mathbf{v}}\Vert}^2\), et le nouvel état du système est \[ {(\Vert P_i {\mathbf{v}}\Vert)}^{-1} (P_i {\mathbf{v}}) \otimes {\mathbf{w}}. \] Le nouvel état est donc encore un état produit pur, et l’état du second système n’a pas changé.

    Similairement, si \(B\) est un observable pour le second système, de décomposition spectrale \[ B = \beta_1 Q_1 + \cdots + \beta_s Q_s, \] alors \(B\) devient \(I \otimes B\) dans le système joint. Sa décomposition spectrale est \[ I \otimes B = \beta_1 (I\otimes Q_1) + \cdots + \beta_r (I\otimes Q_s). \] Les observables \(A \otimes I\) et \(I \otimes B\) commutent : \[ (A \otimes I) (I \otimes B) = (I \otimes B) (A \otimes I) = A \otimes B. \] Comme nous l’avons vu dans l’article précédent, \((A \otimes I)\) et \((I \otimes B)\) “se comportent comme des variables aléatoires indépendantes”, c’est-à-dire qu’il revient au même de mesurer \((A \otimes I)\) puis \((I \otimes B)\) ou de mesurer \((I \otimes B)\) puis \((A \otimes I)\). Plus précisément : \[ \begin{multline} {\Pr}_{{\mathbf{v}}\otimes{\mathbf{w}}}(\text{$A \otimes I$ révèle $\alpha_i$ puis $I \otimes B$ révèle $\beta_j$}) \\ = {\Pr}_{{\mathbf{v}}\otimes{\mathbf{w}}}(\text{$I \otimes B$ révèle $\beta_j$ puis $A \otimes I$ révèle $\alpha_i$}) \\ = {\Pr}_{{\mathbf{v}}}(\text{$A$ révèle $\alpha_i$}) {\Pr}_{{\mathbf{w}}}(\text{$B$ révèle $\beta_j$}). \end{multline} \]

    Base de \({\mathbb{C}}^m\otimes{\mathbb{C}}^n\)

    Si \((a_i)\) est une base de \({\mathbb{C}}^m\) et \((b_j)\) est une base de \({\mathbb{C}}^n\) alors \((a_i \otimes b_j)\) est une base de \({\mathbb{C}}^m\otimes{\mathbb{C}}^n\).

    Dans le cas où \(m=n=2\), rappelons qu’on note \({{\left|{0}\right\rangle}}\) et \({{\left|{1}\right\rangle}}\) les deux vecteurs de base : \[ {{\left|{0}\right\rangle}}= \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} \quad \text{et } {{\left|{1}\right\rangle}}= \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}. \] Il est courant de noter \[ {\left|{00}\right\rangle} = {{\left|{0}\right\rangle}}{{\left|{0}\right\rangle}}:= {{\left|{0}\right\rangle}}\otimes{{\left|{0}\right\rangle}}= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \] \[ {\left|{01}\right\rangle} = {{\left|{0}\right\rangle}}{{\left|{1}\right\rangle}}:= {{\left|{0}\right\rangle}}\otimes{{\left|{1}\right\rangle}}= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}, \] \[ {\left|{10}\right\rangle} = {{\left|{1}\right\rangle}}{{\left|{0}\right\rangle}}:= {{\left|{1}\right\rangle}}\otimes{{\left|{0}\right\rangle}}= \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1 \\ 0\end{pmatrix}, \] \[ {\left|{11}\right\rangle} = {{\left|{1}\right\rangle}}{{\left|{1}\right\rangle}}:= {{\left|{1}\right\rangle}}\otimes{{\left|{1}\right\rangle}}= \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}. \]

    L’état de Bell

    L’état \[ \psi = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\bigl({\left|{00}\right\rangle} + {\left|{11}\right\rangle} \bigr) \in {\mathbb{C}}^2\otimes{\mathbb{C}}^2 \] est connu pour ne pas pouvoir s’exprimer sous la forme \({\mathbf{v}}\otimes{\mathbf{w}}\). On dit qu’il est intriqué.

    Regardons ce qui se passe lorsque le système est dans cet état et que l’on effectue la mesure de \(M \otimes I\), où \[ M = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 0 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + 1 \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 0 P_{[{{\left|{0}\right\rangle}}]} + 1 P_{[{{\left|{1}\right\rangle}}]}. \] Le produit tensoriel jouit de la propriété \(P_{U \otimes V} = P_U \otimes P_V\), donc la décomposition spectrale de \(M \otimes I\) est (puisque \(I=P_{{\mathbb{C}}^2}\)) \[ M \otimes I = 0 P_{W_0} + 1 P_{W_1}. \] où \(W_0 = [{{\left|{0}\right\rangle}}]\otimes{\mathbb{C}}^2\) et \(W_1 = [{{\left|{1}\right\rangle}}]\otimes{\mathbb{C}}^2\). Notons que \[ \begin{align*} W_0 = [{{\left|{0}\right\rangle}}]\otimes{\mathbb{C}}^2 & = [{{\left|{0}\right\rangle}}]\otimes \bigl([{{\left|{0}\right\rangle}}] + [{{\left|{1}\right\rangle}}]\bigr) = [{{\left|{0}\right\rangle}}]\otimes[{{\left|{0}\right\rangle}}] + [{{\left|{0}\right\rangle}}]\otimes[{{\left|{1}\right\rangle}}] = [{{\left|{0}\right\rangle}}\otimes{{\left|{0}\right\rangle}}] + [{{\left|{0}\right\rangle}}\otimes {{\left|{1}\right\rangle}}] \\ & = [{\left|{00}\right\rangle}] + [{\left|{01}\right\rangle}] = [{\left|{00}\right\rangle}, {\left|{01}\right\rangle}]. \end{align*} \] On a \[ \psi - \frac{1}{\sqrt{2}} {\left|{00}\right\rangle} = {\left|{11}\right\rangle} \] et donc \[ \langle \psi - \frac{1}{\sqrt{2}} {\left|{00}\right\rangle}, {\left|{00}\right\rangle} \rangle = \langle \psi - \frac{1}{\sqrt{2}} {\left|{00}\right\rangle}, {\left|{01}\right\rangle} \rangle = 0 \] donc \(\psi - \frac{1}{\sqrt{2}} {\left|{00}\right\rangle} \perp W_0\). En outre, \(\frac{1}{\sqrt{2}} {\left|{00}\right\rangle} \in W_0\), donc \[ P_{W_0} \psi = \frac{1}{\sqrt{2}} {\left|{00}\right\rangle} \quad \text{et } P_{W_1} \psi = \frac{1}{\sqrt{2}} {\left|{11}\right\rangle}. \] Ainsi, la mesure de \(M\otimes I\) produit l’un des résultats suivants, chacun avec probabilité \(\frac12\) :

    • la mesure révèle \(0\) et l’état saute en \({\left|{00}\right\rangle} = {{\left|{0}\right\rangle}}\otimes{{\left|{0}\right\rangle}}\)

    • la mesure révèle \(1\) et l’état saute en \({\left|{11}\right\rangle} = {{\left|{1}\right\rangle}}\otimes{{\left|{1}\right\rangle}}\)

    On vérifie alors aisément que si on effectue ensuite la mesure de \(I \otimes M\), on obtient alors le même résultat que celui de la première mesure.

    Références

    • Isham CJ: Lectures on Quantum Theory. Allied Publishers, 2001.

    • Leroyer Y et Sénizergues G: Introduction à l’information quantique. Polycopié ENSEIRB-MATMECA, année 2014-2015.

    • Williams D: Weighing the Odds: A Course in Probability and Statistics. Cambridge University Press, 2001.